Как узнать минимальное положительное целое число не представимое в float?(и других машинных арифметиках)

#c_sharp #cpp #python #c

Хотелось бы узнать как правильно найти минимальное целое число не представимое в
float и десятичной арифметике с заданной мантиссой и экспонентами(минимальная,максимальная)
    

Ответы

Ответ 1

В С константы

FLT_MANT_DIG
DBL_MANT_DIG
LDBL_MANT_DIG


из  дадут вам количество цифр в мантиссе соответствующего плавающего типа.
Каждая цифра мантиссы - в базе FLT_RADIX (обычно 2). В С++ те же значения можно также
получить через std::numeric_limits::digits.

Соответственно, все целые числа, чей модуль не превосходит FLT_RADIXFLT_MANT_DIG
должны быть представимы. А вот

      FLT_RADIXFLT_MANT_DIG + 1

будет первым (минимальным) положительным целым не представимым в типе float.

Почему так? Так устроены плавающие типы. Если убрать не относящиеся к делу детали,
то плавающее двоичное значение представляется по принципу

      значение = мантисса * 2экспонента

Если полагать, что мантисса - целое число(1, то при любом значении экспоненты больше
0, в последовательности представимых таким способом целых чисел будут "дырки". Например,
очевидно, что при экспоненте 1 представимы будут только четные числа. Непрерывная последовательность
целых чисел возможна только при нулевой величине экспоненты, а также в точке перехода
от экспоненты 0 к экспоненте 1. 

Для экспоненты 0 диапазон ограничен диапазоном значений самой мантиссы. В типе float
ширина мантиссы - 24 (это FLT_MANT_DIG). Соответственно диапазон представимых целых
идет от 0 до 224-1. А затем, при переходе к экспоненте 1 мы получаем еще одно представимое
целое число: 224. А вот следующим представимым целым числом при экспоненте 1 будет
только 224+2. Так что число 224+1 - это первая "дырка" в последовательности представимых
целых чисел.

Проверим

#include 
#include 
#include 

int main()
{
  static_assert(FLT_RADIX == 2, "Ya krevedko");

  {
    unsigned long long i = 1ull << FLT_MANT_DIG;
    float f = i;
    printf("%llu %f\n", i, f);
    f = ++i;
    printf("%llu %f\n", i, f);
  }
  {
    unsigned long long i = 1ull << DBL_MANT_DIG;
    double f = i;
    printf("%llu %lf\n", i, f);
    f = ++i;
    printf("%llu %lf\n", i, f);
  }
}


Вывод

16777216 16777216.000000
16777217 16777216.000000
9007199254740992 9007199254740992.000000
9007199254740993 9007199254740992.000000


Таким образом в IEEE 754 типа float первое непредставимое целое число - это 16777217,
а для типа double - это число 9007199254740993.

Та же формула применима и к десятичным представлениям с плавающей точкой, построенным
на тех же принципах.



1) В реальности в IEEE 754 все несколько по-другому. Мантисса - это двоичное число
с точкой вида 1.000...0 шириной в 24 бита (т.е. 23 двоичных знака после точки), и соответственно
идущие подряд целые числа будут представляться при значениях экспоненты до 23. А начиная
со значения экспоненты 24 будут представляться уже только четные целые числа. Но на
вышеприведенные рассуждения это не оказывает принципиального влияния. Принципиальный
момент тут в любом случае один и тот же - непрерывный диапазон целых чисел определяется
шириной мантиссы.