Как определить основание системы счисления числа?

#математика #информатика #системы_счисления

118924 в 10 системе счисления = 350214 в х системе счисления, как найти х? если можно
то попродобнее    

Ответы

Ответ 1

Это ж всё брутфорс, это ж несерьезно :)
На самом деле, конечно, перебор здесь вполне подходит, и можно дать ему границы сразу
— по количеству цифр, по максимальной цифре. Но есть же и аналитический метод.
350214х = 11892410
Это означает, что 
3x5 + 5x4 + 0x3 + 2x2 + 1x + 4 = 11892410
или
3x5 + 5x4 + 2x2 + x – 118920 = 0
Классический многочлен пятой степени. И теперь нужно просто решить полиномиальное
уравнение. По основной теореме алгебры у него будет пять комплексных корней, нас, правда,
интересует только действительный, хорошо бы положительный, и хорошо бы целый :)
Из теоремы Абеля-Руффини известно, что аналитически мы такое уравнение не решим в
общем случае, но я бы даже и пробовать не стал: на то придуманы численные методы, которых
всяких есть многатыщ — выбрать можно по вкусу, начиная хоть с метода товарища Ньютона.
Решаем, и получаем:
x = 8
Хорошо и красиво. Ну можете еще добить преподавателя комплексными корнями, сказав,
что это же число записывается точно так же в системе счисления с основанием (-7.07949
- 4.865i) :)


Ответ 2

Что бы перевести число с какой то системы счисления с основой Х в десятичную, нужно
делать так:
1) начальная сумма 0
2) текущая цифра - самая первая
3) текущую сумму умножаем на основу Х
4) добавляем текущую цифру к сумме.
5) если справа ещё есть цифры - к пункту 3 иначе выход
Так как вручную проверять все это лень, пишется небольшая программа, к примеру на питоне
def r(x):
    return (((((3 * x + 5) * x + 0) * x + 2) * x + 1) * x + 4)

for i in range(6,10):
    print i, r(i)

Начинаем с 6, так как все цифры в заданном числе точно меньше 6 и это будет минимально
возможная основа.
А верхняя 9, так как "визуально" число в системе счисления Х больше его записи в
десятичной форме.
и конечный ответ - 8.


Ответ 3

Топовый ответ прекрасен. Осталось только уточнить решение.

Итак, получено уравнение
3*x5 + 5*x4 + 2*x2 + x – 118920 = 0.
И есть следующие соображения к его решению:


x - основание системы счисления, т.е. целое число.
В записи числа встречается цифра 5, т.е. x>5.
Число в искомой системе счисления выглядит больше нежели в десятичной, т.е. x<10.
Все целочисленные решения степенного уравнения являются делителями его свободного
члена, и после проверки остаётся только x=8.


Подстановка в уравнение показывает, что это ответ.


Ответ 4

Попробуй перебором. Начни с 6-ти разрядной системы счисления


Ответ 5

"Оптимизированный" перебор мог бы выглядеть так (Java): 
public static int getNotation(int decBased, int[] xBased) {
    outer: for (int base = 6; ; base++) { // как определить нижнюю границу вы уже знаете
        int tmp = decBased;
        int i = xBased.length - 1;
        while (tmp != 0) {
            int integral = tmp / base;
            int part = tmp % base;

            if (xBased[i] == part) {
                tmp = integral;
                i--;
            }
            else {
                continue outer; // отбрасываем основание, как только остаток от деления
не равен соответствующей цифре чисда
            }
        }
        return base;
    }
}

Набросал по-быстрому и грязновато, но, наверно, суть понятна. Алгоритм основан на
переводе числа в Википедии.