Как рассчитать радиус?

#математика #геометрия

Извиняюсь за название, просто я не знаю как назвать тему. Дело вот какое..
Представьте что у Вас в руках равносторонний-прямой угол и плоскость, на которой
одной стороной лежит этот угол. Теперь найдите мнимый центр и поверните этот угол так,
чтобы вторая его сторона заняла место первой. Понимаю что не понятно поэтому иллюстрация
ниже.  

  

Когда я поверну угол на 90 градусов вокруг точки O, то отрезок CA займет место отрезка
AB.  

Теперь представьте что угол 45 градусов.  

  

Как мне найти длину радиуса OE чтобы отложив от отрезка AB перпендикуляр равной длины,
я нашел точку, повернув угол вокруг которой на 45 градусов я поместил отрезок CA в
положение AB?
    

Ответы

Ответ 1

Если я правильно понял условие, то точку O надо поместить в точку пересечения биссектрисы
угла BAC и срединного перпендикуляра к отрезку AB.

В общем, равнобедренный треугольник AOB с основанием AB, угол OAB равен половине
угла BAC. Надо найти высоту. Для этого есть несколько способов разной сложности.


Ответ 2

Так это же очень просто, как мне кажется. Обозначим через x половину отрезка AB,
он же будет половиной АС, радиус R должен быть таким, чтобы окружность касалась отрезка
AB, и отрезка AC, деля их пополам в точках касания (доказательство этого факта обсуждается
в 9-м классе на геометрии, что касательные, выпущенные из одной точки, имеют равную
длину до момента касания окружности). Дальше получаем уравнение x/R = tg Pi/8. Отсюда
R = x / (tg Pi/8). Величину x я так понял, Вы знаете. Тангенс Pi/8 равен корню из частного
двух разностей: первая разность это корень из двух минус один, а вторая корень из двух
плюс один.