Парадокс Монти Холла

#теория_вероятностей

Приветствую!
Не могу понять смысл проблемы Монти Холла. Решил провести эксперимент и опытным путем
определить соотношение победителей/проигравших. Вот сам скрипт.
Вопрос: Кто может на пальцах объяснить, что я делаю не так? Почему результаты моей
симуляции расходятся с теми, о которых говорится в статье?
Развернутый вопрос. Сделал такой класс:
function MontyHallState()
    {
    // Изначально все 3 двери — закрыты:
    this.doors = [0, 0, 0];
    this.doorsOpened = 0;

    // За одной из дверей есть приз:
    this.prize = Math.floor(Math.random() * 3);

    // Игрок выбрал одну из дверей:
    this.choice = Math.floor(Math.random() * 3);

    this.openDoor = function()
        {
        /*
        Если осталось закрытыми меньше 3 дверей,
        то ф-ция возвращает false, иначе —
        «открывается» случайная дверь, за которой нет приза, при этом
        не та, которую выбрал игрок —
        должны быть удовлетворены условия:
        this.doors[openDoor] === 0
        и
        openDoor !== this.choice
        */
        }

    this.changeChoice = function()
        {
        /*
        Значение this.choice должно поменяться таким образом, что
        новое значение должно отличаться от текущего, при этом
        не должно указывать на уже открытую дверь —
        должно быть удовлетворено условие
        this.doors[this.choice] === 0
        */
        };
    }

Алгоритм симуляции:


Для тех, кто хочет менять первоначальный выбор:
a. Создаем экземпляр объекта (выбор двери сделан)
b. Открываем дверь, за которой точно нет приза
c. Меняем выбор


Для тех, кто уверен в первоначальном выборе:
a. Создаем экземпляр объекта (выбор двери сделан)
b. Открываем дверь, за которой точно нет приза


Сравниваем значения членов prize и choice. Если значения совпадают — приз получен.
Проделаем этим манипуляции по 10000 раз для обоих вариантов поведения (еще раз —
скрипт). Я увидел следующие результаты:

Don't change choice
Winners: 3408
Losers: 6592

Change choice
Winners: 3345
Losers: 6655

Как видим, процент успеха для обоих случаев примерно одинаковый — ≈33%. Если Повторить
опыт несколько раз, убедимся, что такой исход является обыкновением в этой ситуации.
Если рассматривать модель, при которой есть не 3, а 4 двери, окажется, что процент
успеха будет составлять ≈25%.
Если опыт проведен верно, то можно ли Парадокс Монти Холла считать несостоятельным?
Если опыт проведен неверно или сделаны не те выводы, то какие именно?
Спасибо.    

Ответы

Ответ 1

Опыт проведён не верно. Чтобы получить вероятность 2/3 из Парадокса Монти-Холла,
необходимо всегда менять выбор, когда ведущий просит выбрать дверь во второй раз.
Из статьи:

если вы меняете
дверь после действий ведущего, то вы
выигрываете, если изначально выбрали
проигрышную дверь (тогда ведущий
откроет вторую проигрышную и вам
останется поменять свой выбор чтобы
победить). А изначально выбрать
проигрышную дверь можно 2 способами
(вероятность 2⁄3), то есть если вы
меняете дверь, вы выигрываете с
вероятностью 2⁄3.

Для случае 4 и более дверей, ведущий открывает все двери с козами кроме одной двери
(плюс ещё остаётся дверь с машиной). Одна из оставшихся дверей была выбрана игроком
изначально. 

вероятность что игрок выбрал изначально дверь с машиной равна 1/4
то есть вероятность что игрок выбрал изначально дверь с козой равна 3/4
остались две двери (за одной из них машина): одну из них изначально выбрал игрок.
Если за ней коза (вероятность 3/4), то при смене двери игрок находит машину.

Чтобы прочувствовать решение, можно рассмотреть 1000 дверей:

если представить что дверей не 3 а,
скажем 1000, и после выбора игрока
ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2
двери: ту которую выбрал игрок и еще
одну. Очевидно, что вероятность
нахождения приза за каждой из них
вовсе не ½. Гораздо большая
вероятность его нахождения, а именно
0.999, будет иметь место при смене решения и выборе двери отобранной из
999. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша
при смене решения ниже, а именно 2⁄3.

Симуляция на Питоне, подтверждает теорию:
#!/usr/bin/env python
import random

CAR, GOAT = 'car', 'goat'
DOORS = [CAR] + [GOAT]*2
win_keep = win_change = 0
for round in range(1, 10001):
    doors = list(DOORS)

    # make the first choice
    random.shuffle(doors)
    win_keep += (doors.pop() == CAR)

    # remove all but one door
    while len(doors) > 1:
        doors.remove(GOAT)

    # change the choice
    win_change += (doors[0] == CAR)

print("{:.1%} {:.1%}".format(float(win_keep)/round, float(win_change)/round))

Вывод
33.7% 66.3%

То есть 1/3 если не менять дверь и 2/3 если менять.
Чтобы провести тесты для 4 дверей достаточно кол-во коз изменить в определении DOORS.


Ответ 2

@Bars, в  комментарий не влезает, поэтому пример программы моделирования в виде ответа.
#include 
#include 
#include 
#include 

int
main (int ac, char *av[])
{
  int m = 3;
  if (av[1] && strcmp(av[1], "-d") == 0) {
    m = 1000;
    av++;
    if (av[1]) {
      m = atoi(av[1]);
      av++;
    }
    if (m < 3)
      m = 3;
  }
  int i, n = atoi(av[1] ? av[1] : "10000001"), nw1 = 0, nw2 = 0;
  if (n < 1) {
    srand(time(0));
    n = -n;
  } else if (!n)
    n = 10;

  // n rounds simulation for m doors 
  for (i = 0; i < n; i++) {
    int choice, car, door[m];
    memset(door, 0, sizeof(door[0]) * m);
    door[car = (rand() % m)] = 1;  // car
    // alg 1 -- first choice
    nw1 += door[choice = (rand() % m)];
    // alg 2 -- change door
    if (car != choice) 
      nw2++;
  }

  printf ("%d doors win simulations %d: no change -- %.2f%%  change -- %.2f%%\n", 
          m, n, (nw1 * 100.0) / n, (nw2 * 100.0) / n);
}

Компилировать gcc или g++, с аргументами (-d , +/-число циклов и т.п.) думаю, разберетесь...