Как составить правильную формулу расчета угла между векторами?

#математика #геометрия #вектор

Есть стандартная формула расчета угла между векторами:



И вот есть два вектора, угол между которыми никак не вычислить, так как правая часть
уравнения меньше -1. Вот эти вектора:

var x1 = -0.045797169475341334, y1 = -0.9989507591808752;
var x2 = 0.04579716947534099, y2 = 0.9989507591808753;


В итоге, выражение:

(x1 * x2 + y1 * y2) / Math.sqrt(Math.pow(x1, 2) + Math.pow(y1, 2)) * Math.sqrt(Math.pow(x2,
2) + Math.pow(y2, 2))


дает результат: -1.0000000000000002

И если взять арккосинус этого числа, то будет NaN, что и понятно, так как он определен
на промежутке от -1 до 1.

Как мне скорректировать формулу, чтобы этой ошибки не было?
    

Ответы

Ответ 1

Варианта решения проблемы имеются как минимум 2. Оба они требует, чтобы оба вектора
имели ненулевую длину, но для вектора с нулевой длиной сама постановка вопроса о каком-либо
угле не вполне корректна, и как Вам обрабатывать такую ситуацию, Вам должно быть виднее.

1) вычисляем промежуточное значение:

r = (x1 * x2 + y1 * y2) / Math.sqrt(Math.pow(x1, 2) + Math.pow(y1, 2)) * Math.sqrt(Math.pow(x2,
2) + Math.pow(y2, 2))


Проверяем на попадание r в диапазон [-1, 1]:

if (r < -1) r = -1; if (r > 1) r = 1;


Вычисляем арккосинус. Так убираются ошибки округления, "выбивающие" r из диапазона.

2) Пользуемся функцией atan2

phi = Math.atan2(y2, x2) - Math.atan2(y1, x1);


При необходимости, приводим полученный угол в нужный диапазон (0-180град или -90 - +90)



Я бы написал так:

if (phi < 0) phi += Math.PI * 2;
if (phi > Math.Pi) phi -= Math.PI;




Оба алгоритма выдадут ошибку при x1=y1=0 или x2=y2=0, о чем написано выше.
Вариант с atan2, имхо предпочтительней, т.к., например при x1=y1=1e+10, x2=y2=1e-10
точность вычислений по первому варианту будет околонулевой (e10 взято просто для примера,
м.б. нужно существенно больше).



Математические функции указаны для Java, для .NET названия содержат заглавную букву:
Math.Sqrt, Math.Atan2 и т. д.


Ответ 2

Если есть желание воспользоваться формулой для разности углов (а оно понятно из вопроса),
то можно использовать тангенсы половинного аргумента с периодом 360: 
phi = 2(Math.atan2(y2, x2+r2) - Math.atan2(y1, x1+r1));

Проверим эту формулу на данных  x1 = sqrt(3), y1=1, x2= - sqrt(3), y2=1 r1=r2=2:
Правильный ответ: cos(fi) = -1/2, fi=120.
По формуле для разности:
fi1=2arctg(1/(2+sqrt(3))) = 30, fi2=2arctg(1/(2-sqrt(3))=150, fi=fi2-fi1 = 120.
Остаётся только преобразовать интервал, на выбор:
 либо mod(fi,360), либо mod(fi+180,360)-180 

В то же время:


Модуль нужно убрать, потому что его нет в теории.
Тангенсы в чистом виде лучше не использовать, потому что есть риск ошибки.
Так, для тех же данных по формуле
phi = (Math.atan2(y2, x2) - Math.atan2(y1, x1);
имеем:
fi = arctg(sqrt(-3)) - arctg(sqrt(3)) = -120.
Парадокс объясняется тем, что тангенс имеет период 180, а
сos(fi+180) = cos(fi)cos(180)+sin(fi)sin(180) = - cos(fi).