Составить рекуррентную формулу на Си (от n=0, это важно)

#c #формулы

Есть вот такая формула, надо сравнить левую часть и правую с использованием  такого ряда.
В задании сказано посчитать правую часть, то бишь формулу суммы, c использованием
рекуррентной формулы. Помогите написать часть кода на Си, где будет считать эту сумму
с циклом DO WHILE и рекуррентной формулой! Нельзя использовать pow, надо использовать
отдельную переменную для суммирования. Я такое сделал с функцией, но сказали, что надо
рекуррентную формулу, а вывести ее у меня не выходит.

  s = 0; xn = x; n = 0;
  do {
    an = (factorial(2 * n) * xn) / (factorial(n)*factorial(n) * (n + 1));
    s += an;
    n++; xn *= x;
  } while (fabs(an) > eps && n <= lim);




int factorial(int n) {
  return (n < 2) ? 1 : n * factorial(n - 1);
}



    

Ответы

Ответ 1

Ты уже используешь рекуррентный вариант для xn+1, но продолжаешь вычислять факториал
рекурсивно - надо от него тоже избавиться.

В формуле есть следующие фрагменты:

(2n)!
x^(n+1)
(n!)^2
(n+1)


Что с ними произойдёт при увеличении n на 1?

(2(n+1))! = (2n+2)! = (2n)! * (2n+1) * (2n+2)
x^((n+1)+1) = x^(n+1) * x
((n+1)!)^2 = (n!*(n+1))^2 = (n!)^2 * (n+1)^2
((n+1)+1) = (n+1) + 1 = (n+1) * (1 + 1/(n+1))


Пересчитываем коэффициент для следующего n:

*= (2(n-1)+1) * (2(n-1)+2) = (2n-1) * 2n
*= x
/= n^2
/= (1 + 1/n)


Получается формула

y *= (2*n-1) * 2*n * x / (n*n * (1 + 1/n));  


Если разделить на n числитель и знаменатель(сократить), получится:  

y *= 2 * x * (2*n-1) / (n + 1);  


Ну это если я нигде не ошибся в вычислениях. Если ошибся, то надо подправить :)


  n=0, это важно


Надо просто задать соответствующее начальное значение при n=0:

y = x;


в последующей формуле оно просто умножится на нужный коэффициент.


Ответ 2

Выражение равно Σ f(n), где
  f(x, n) = (2n)!xn+1 / (n!)2(n+1)


Предыдущий член суммы:  


  f(x, n-1) = (2(n-1))! xn / ((n-1)!)2n


Заметим, что


  (2n)! / (2(n-1))! = 2n(2n-1)
  xn+1 / xn = x
  n!2/(n-1)!2 = n2
  (n + 1) / n = 1 + 1/n  


Тогда,


  f(x, n) / f(x, n-1) = 2n(2n-1) x / (n2 (1+1/n))


Или, так как n(1+1/n) = n+1  


  2x(2n-1) / (n+1)  


Реализация:  

double kn(int n, double x) {
    return 2*(2*n-1)*x / (n+1);
}

double fn(double fn_1, int n, double x) {
    return fn_1 * kn(n, x);
}


double EPS = 1e-15;

double sum(double x) {
    double current = x;
    double sum = current;

    int n = 0;
    do {
        current = fn(current, ++n, x);
        sum += current;
    } while (fabs(current) > EPS);

    return sum;
}

int main() {
    printf("sum(%f) = %f\n", -0.25, sum(-0.25));
    printf("sum(%f) = %f\n", 0.25, sum(0.25));
}