Вычислить координаты ортогональной проекции точки на отрезок

#javascript #математика #геометрия

Проект для создания чертежей в svg, на нативном js. 

Столкнулся со следующей задачей:

Известны координаты 3х точек A B C на плоскости. Точки A B являются началом и концом
отрезка AB. Нужно найти координаты ортогональной проекции (точка D) точки С на отрезок
АВ. Как это сделать?
    

Ответы

Ответ 1

Проекцию можно найти, используя скалярное произведение векторов

 D = A + AB * Dot(AC, AB) / Dot(AB, AB)


В псевдокоде:

 abx = B.X - A.X
 aby = B.Y - A.Y
 dacab = (C.X - A.X) * abx + (C.Y - A.Y) * aby
 dab = abx * abx + aby * aby
 t = dacab / dab
 D.X = A.X + abx * t
 D.Y = A.Y + aby * t


Здесь немного другие обозначения (C=P, N=D) и пояснения


Ответ 2

Метод "пересечения":

Если построить точку С' = (Cx - (By - Ay), Cy + (Bx - Ax)), то прямая CC' будет перпендикулярна
прямой AB. Пересечение прямых AB и CC' даст вам точку D.

Метод "тяжеловат" с вычислительной точки зрения из-за того, что использует пересечение
двух прямых в качестве примитива. Но прост в реализации, если такой примитив уже есть
под руками.
Метод "расстояния":

Если AA, BB и CC - коэффициенты уравнения прямой, содержащей отрезок AB (легко вычисляются
через координаты точек A и B), то величина

DD = AA * Cx + BB * Cy + CC


даст вам знаковое расстояние от этой прямой до точки C, домноженное на |(AA, BB)|.
Если к точке C прибавить вектор DD * (-AA, -BB), то мы получим точку, которая смещена
относительно C в правильном направлении, но, условно выражаясь, "слишком далеко": расстояние
превышает требуемое в |(AA, BB)|^2 раз. Достаточно разделить смещение на эту величину
- мы получим требуемую точку D

             DD 
D = C + ------------ * (-AA, -BB)
        |(AA, BB)|^2


Этот метод тоже несколько громоздок из-за "лишних" вычислений уравнения прямой, но
может быть полезен, если вы и так уже знаете/вычисляете уравнение прямой, а также если
вам в дополнение к точке проекции нужно еще вычислять и расстояние от C до AB.
Метод "скалярного произведения":

Очевидно, что 

        |(A, D)|
D = A + -------- * (A, B)
        |(A, B)|


При этом скалярное произведение вектора (A, C) на вектор (A, B) - это длина проекции
(A, D), домноженная на |(A, B)|. 

(A, C)•(A, B) = |(A, D)| * |(A, B)|


Тогда

        (A, C)•(A, B)
D = A + ------------- * (A, B)
          |(A, B)|^2



(Можно показать, что если собрать все вычисления второго метода в одну формулу, то
она "сократится" до третьего метода.)