Как повернуть два треугольника, чтобы их вершины лежали максимально близко?

#математика #геометрия

Допустим имеется два разных треугольника с общим центром и имеется задача повернуть
один треугольник так, что бы его вершины лежали максимально близко к вершинам другого
треугольника.

У меня есть идея только того, что чтобы найти новые координаты фигуры, нужно минимизировать
расстояния между вершинами первого треугольника и второго (т.е. взять производную и
приравнять нулю), однако как действовать дальше не знаю ..
    

Ответы

Ответ 1

Будем пользоваться полярными координатами. Зададим 2 треугольника парами значений
в полярных координатах:





Угол поворота второго треугольника относительно первого: 

Так как у вас нет четкого условия про минимальное расстояние, возьмем сумму квадратов
расстояний (визуально это должен быть наилучший вариант). Используя формулу для расстояния
между 2 точками на полярных координатах получаем такие квадраты расстояний:







Мы должны найти минимум функции сумм этих 3 величин. В нас здесь много констант,
что бы упростить формулу, положим:















И тогда наша сумма квадратов расстояний примет вид:



Возьмем производную, что бы найти экстремумы функции:



Если расписать синус разницы, то получим:



Положим:





И получим:



Такое уравнение легко решить, если взять такой угол , что:





Тогда уравнение примет вид:



Такое легко решить. Дальше нужно повторить все это, смещая точки второго треугольника:
сначала сместить на 1 (первая точка станет второй, вторая третьей и т. д.), потом на 2.