Ляп в Питоне: x + 1.0 < x

При смешивании типов возможно неочевидное поведение:

>>> x = (1 << 53) + 1
>>> x + 1.0 < x
True


Казалось бы, что x + 1.0 не меньше просто x, поэтому ожидаемый результат сравнения False, но возвращается True. Почему?
    

Ответы

Ответ 1

Кратко: 9007199254740992.0 < 9007199254740993

При сложении, числа к общему типу приводятся в Питоне. x (int) конвертируется в
float так как 1.0 это float. x непредставим точно в виде float, поэтому выбирается ближайшее (меньшее здесь) представимое число: x -> float(x-1). Поэтому сумма получается неточной:  

x+1.0 -> float(x-1)+1.0 -> (x) -> float(x-1)


Сравнение float < int происходит точно. Значение x (int) математически больше x+1.0 (float).



Целые числа в Питоне имеют бесконечную точность (могут быть сколь угодно большими)
Но вещественные числа, такие как создаваемые 1.0 константой в исходном коде, представлены типом float— числами с плавающей точкой.

x слагаемое во float здесь превращается:


  otherwise, if either argument is a floating point number, the other is converted to floating point;


ещё до вычисления суммы:


  the numbers are converted to a common type and then added together


>>> x
9007199254740993
>>> float(x) == float(x-1) == 9007199254740992.0
True
>>> x+1.0 == float(x) + 1 == float(x-1) + 1 == float(x) == float(x-1)
True


На IEEE 754 платформах, где Python float соответствует числам с двойной точностью:

>>> sys.float_info.radix
2
>>> sys.float_info.mant_dig
53
>>> float(1<<53).hex()  # точно представлено
'0x1.0000000000000p+53'
>>> float((1<<53) + 1).hex()  # непредставимо точно, округляется
'0x1.0000000000000p+53'
>>> (float((1<<53) + 1) + 1.0).hex()  # двойное округление
'0x1.0000000000000p+53'


Вывод показывает, что float(x) и x + 1.0 представлены  как одно и то же число: float(x-1). Подробнее см. вопрос Отображение числа 9223372036854775807.

x является int, поэтому величина (1<<53)+1 точно представлена (9007199254740993).

Сравнение математически точно происходит без приведения типов:


  The objects do not need to have the same type.
  ...
  Within the limits of the types involved, they compare mathematically (algorithmically) correct without loss of precision.


>>> 9007199254740992.0 < 9007199254740993
True


Вот так x + 1.0 может быть меньше x в Питоне.