оптимизировать вычисления

при реализации этой задачи столкнулся с проблемой медленных вычислений
Сперва решил ускорить log10 - не помогло, хоть и вычисляет быстрее чем log10 из стандартной библиотеки - (см. сравнение в коцне вопроса), но использование таблицы степеней 10 оказалось не сильно хорошей идей, хотя бин поиск должен был повлиять...
Вобщем, не могу понять что ещё и главное как можно оптимизировать кроме вычисления десятичного логарифма
#include #include #include #include
const long double _10_POWERS[40] = { 1e+0, 1e+1, 1e+2, 1e+3, 1e+4, 1e+5, 1e+6, 1e+7, 1e+9, 1e+10, 1e+11, 1e+12, 1e+13, 1e+13, 1e+14, 1e+15, 1e+16, 1e+17, 1e+18, 1e+19, 1e+20, 1e+21, 1e+22, 1e+23, 1e+24, 1e+25, 1e+26, 1e+27, 1e+28, 1e+29, 1e+30, 1e+31, 1e+32, 1e+33, 1e+34, 1e+35, 1e+36, 1e+37, 1e+38, 1e+39 };
static inline uint32_t log10_fast(long double x) { //uint32_t res = 0; int l = 0, r = 40 - 1;
while (l <= r) { int mid = l + ((r -l) >> 1);
if ( x >= _10_POWERS[mid] && x < _10_POWERS[mid + 1] ) { return mid; }
if (x >= _10_POWERS[mid]) l = mid; else r = mid; }
return 0; };
uint32_t compute(int n, std::vector>& a) { long double x = 0.0f; uint32_t s = 0;
const long double _2_96 = pow(2, 96); const long double _2_64 = pow(2, 64); const long double _2_32 = pow(2, 32);
for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = i + 1; j < n; ++j) { x = _2_96 * (a[i][0] ^ a[j][0]); x += _2_64 * (a[i][1] ^ a[j][1]); x += _2_32 * (a[i][2] ^ a[j][2]); x += (a[i][3] ^ a[j][3]);
s += log10_fast(x); } }
return 2 * s; }
int main(int argc, char const *argv[]) { int n; std::cin >> n; std::vector> a(n, std::vector(4));
for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < 4; ++j) { std::cin >> a[i][j]; } } std::cout << compute(n, a) << '
'; return 0; }
Какие есть идеи по поводу оптимизаций тут ?
Может есть другой более быстрый способ вычислить log10 ? Или может дело не в логарифме ?
p.s.
сравнение log10 и log10_fast
uint32_t s = 0; high_resolution_clock::time_point t1 = high_resolution_clock::now();
for (unsigned i = 0; i < 1e+8; ++i) { s += log10( static_cast(rand()) ); } high_resolution_clock::time_point t2 = high_resolution_clock::now(); duration dur = duration_cast( t2 - t1 ); std::cout << dur.count() << '
'; // 6.374 sec
s = 0; t1 = high_resolution_clock::now(); for (unsigned i = 0; i < 1e+8; ++i) { s += log10_fast( static_cast(rand()) ); } t2 = high_resolution_clock::now(); dur = duration_cast( t2 - t1 ); std::cout << dur.count() << '
'; // 5.907 sec

Ответ

Мне кажется, что главная проблема заключается в том, что вы много раз вызываете функцию log10. Давайте распишем сумму логарифмов как логарифм произведения:

Если чисел немного, так что их произведение не вызовет переполнение, то можно так и посчитать.
Другая проблема заключается в использовании дробных чисел, они не так быстро перемножаются, как целые. Хочу предложить приближённое решение в целых числах. Заметим, что если, например, a[i][1] xor a[j][1] не равно нулю, то a[i][3] xor a[j][3] и a[i][4] xor a[j][4] можно не считать, так как их добавка к xor'у будет очень маленькой. Рассмотрим следующий алгоритм:
Для каждой пары (i, j), приближённо считаем A_i xor A_j в виде x * 2^k, где x, k --- некоторые целые числа, причём 0 <= x < 2^32 Перемножаем полученные значения следующим образом: (x1 * 2^k1) * (x2 * 2^k2) = (x1 * x2) * 2^(k1+k2) = x * 2^(k1+k2), причём 0 <= x <= 2^64. Представляем x в виде x=y * 2^m', причём 0 <= y < 2^32. Итак, (x1 * 2^k1) * (x2 * 2^k2) = y * 2^(k1+k2+m) По факту мы посчитали не десятичный логарифм, а двоичный, чтобы получить десятичный логарифм, нужно домножить на log_10(2).
Собственно, код:
#include #include #include #include #include "/home/dima/C++/debug.h" using namespace std;
double compute(const vector &a) { static const uint64_t two_power_32 = 1ull << 32; int n = a.size();
// текущий накопленный результат равен value * 2^power_index uint64_t value = 1; int power_index = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { uint64_t xor1 = a[i][0] ^a[j][0]; uint64_t xor2 = a[i][1] ^a[j][1];
uint64_t value_current; if (xor1 == 0) { value_current = xor2; } else if (xor1 >= two_power_32) { value_current = xor1; power_index += 64; } else { assert(0 <= xor1 && xor1 < two_power_32); value_current = (xor1 << 32) + (xor2 >> 32); power_index += 32; } while (value_current >= two_power_32) { value_current /= 2; ++power_index; } assert(0 <= value_current && value_current < two_power_32); assert(0 <= value && value < two_power_32); value *= value_current; while (value >= two_power_32) { value /= 2; ++power_index; } } }
// result = log10(value * 2^power_index) // result = log10(value) + log10(2^power_index) // result = log10(value) + power_index * log10(2) double result = log10(value) + power_index * log10(2); return result * 2; }
int main() { freopen("input.txt", "r", stdin);
int n; cin >> n; vector a(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < 2; ++j) { uint32_t ai1, ai2; cin >> ai1 >> ai2; a[i][j] = (uint64_t(ai1) << 32) + ai2; } } cout << compute(a) << endl; return 0; }
К сожалению, я не сравнивал производительность, но я искренне верю, что это работает быстрее, чем n^2 раз вычислять log10
Обновление: я тут потестировал, при n=5000 моя реализация чуть медленнее вашей оригинальной. Всё дело в этих циклах:
while (value >= two_power_32) { value /= 2; ++power_index; }
Их можно переписать разными способами, вот вариант для GCC:
static const uint64_t two_power_32 = 1ull << 32;
inline void divide_until_less_then_two_power_32(uint64_t &value, int &power_index) { // Эта функция эквивалентна этим строчкам: // while (value >= two_power_32) { // value /= 2; // ++power_index; // }
if (value < two_power_32) { return; } int power_index_delta = 32 - __builtin_clzll(value); power_index += power_index_delta; value >>= power_index_delta; assert(0 <= value && value < two_power_32); }
Полный код:
#include #include #include #include using namespace std; #include "/home/dima/C++/debug.h"
static const uint64_t two_power_32 = 1ull << 32;
inline void divide_until_less_then_two_power_32(uint64_t &value, int &power_index) { // Эта функция эквивалентна этим строчкам: // while (value >= two_power_32) { // value /= 2; // ++power_index; // }
if (value < two_power_32) { return; } int power_index_delta = 32 - __builtin_clzll(value); power_index += power_index_delta; value >>= power_index_delta; assert(0 <= value && value < two_power_32); }
double compute(const vector &a) { int n = a.size();
// текущий накопленный результат равен value * 2^power_index uint64_t value = 1; int power_index = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { uint64_t xor1 = a[i][0] ^a[j][0]; uint64_t xor2 = a[i][1] ^a[j][1];
uint64_t value_current; if (xor1 == 0) { value_current = xor2; } else if (xor1 >= two_power_32) { value_current = xor1; power_index += 64; } else { assert(0 <= xor1 && xor1 < two_power_32); value_current = (xor1 << 32) + (xor2 >> 32); power_index += 32; } divide_until_less_then_two_power_32(value_current, power_index); assert(0 <= value_current && value_current < two_power_32); assert(0 <= value && value < two_power_32); value *= value_current; divide_until_less_then_two_power_32(value, power_index); } }
// result = log10(value * 2^power_index) // result = log10(value) + log10(2^power_index) // result = log10(value) + power_index * log10(2) double result = log10(value) + power_index * log10(2); return result * 2; }
int main() { freopen("input.txt", "r", stdin);
int n; cin >> n; vector a(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < 2; ++j) { uint32_t ai1, ai2; cin >> ai1 >> ai2; a[i][j] = (uint64_t(ai1) << 32) + ai2; } } cout << compute(a) << endl; return 0; }
Если я всё правильно посчитал, то эта версия работает в два раза быстрее.
Обновление 2: исправил ошибку (добавил строчку power_index += 32;)